Dấu hiệu chia hết của số tự nhiên - Phương pháp xác định tính chia hết của số tự nhiên thường gặp chủ yếu có hai loại: một cách là xem số cuối (Số tận cùng) hoặc vài số cuối; Cách khác là tính toán tổng các số trước hoặc tổng các số bị chia cho hệ số thích hợp.

Ứng dụng tính chất chia hết rất hay gặp trong các đề thi HSG tiểu học. Bài này xin tổng hợp tính chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

1/ Chia hết cho 2

Tính chẳn lẻ của một số tự nhiên (mở rông đến số nguyên) quyết định việc nó có chia hết cho 2 không:

-         Mọi số TN là số chẵn đều chia hết cho 2; Mà các số chẵn thì só tận cùng là 0,2, 4, 6, 8

-          Số lẻ (tức là chữ số hàng đơn vị 1, 3, 5, 7, hoặc 9) không thể chia hết cho 2. Nếu là số lẻ thì chia cho 2 luôn có só dư là 1

Người ta tổng quát số chẵn là 2n; số lẻ là 2n +1

Ví dụ: 465124 có thể chia hết cho 2, nhưng 246809 lại chia hết cho 2.

2/ Chia cho 5 & 25:

- Mọi số tự nhiên chia hết cho 5 thì chữ số hàng đơn vị của nó là 0 hoặc 5.

-Mọi số tự nhiên chia hết cho 25 thì hai số cuối cùng của nó (tức là hàng chục và hàng đơn vị) chia hết cho 25 là 100, 25, 50 hoặc 75. Ví dụ như 1207895 có thể chia hết cho 5 nhưng không thể chia hết cho 25.

3/ Chia hết cho 3 & 9:

- Quy tắc đoán một số tự nhiên chia hết cho 3 là tồng các số của nó có thể chia hết cho 3;

- Quy tắc đoán một số tự nhiên chia hết cho 9 là tổng các số của nó chia hết cho 9.

Ví dụ như: tổng các chữ số của 147345 là 5 + 4 + 3 + 7 + 4 + 1 = 24 có thể chia hết cho 3, nhưng không thể chia hết cho 9, cho nên số 147345 chỉ có thể chia hết cho 3, không thể chia hết cho 9.

* Chứng  minh

Tại sao lại có những quy tắc đơn giản như vậy?

Bởi vì nếu a0, a1, a2, a3... lần lượt là các số của hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn… của số tự nhiên A thì:

A = a0 + 10a1 + 102a2 + 103a3 + ….

= [(10 – 1) a1 + (10² -1)a2 + (10³ – 1)a3 +...] + (a0 + a1 + a2 + a3 +...)

Có thể dẽ dàng kiểm tra tính toán được là (10ⁿ – 1) (n là số tự nhiên) đều là bội số của 3 và 9, nên số trong hàng hoặc vuông cuối cùng của phép tính trên là bội số của 3 và 9.

Từ đó có thể rút ra kết luận rằng, để biết A có phải là bội số của 3 hoặc 9 không, chỉ cần xem tổng các số a0 + a1 + a2 + a3 + … của A có phải là bội số của 3 hoặc 9 không?

4/ Chia cho 4 & 8:

- Quy tắc đoán một số tự nhiên chia hết cho 4 là tổng chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của nó có thể chia hết cho 4.

- Quy tắc phân biệt một số tự nhiên chia hết cho 8 là tổng số hàng đơn vị, hai lần chữ số hàng chục và bốn lần chữ số hàng trăm của nó có thể chia hết cho 8.

Ví dụ,

Do 6 + 2 x 7 = 20 chia hết cho 4, cho nên số 1390276 có thể chia hết cho 4;

Do 6 + 2 x 7 + 4 x 2 = 28 không thể chia hết cho 8 nên số 130276 không thể chia hết cho 8.

Nếu thay số hàng trăm bằng số 3; 5 hoặc7 thì ta được số 130376 và 130576 chia hết cho 8. Vì: 6 + 2 x 7 + 4 x 3 = 32 ; 6 + 2 x 7 + 4 x 5 = 40;  6 + 2 x 7 + 4 x 7 = 48

*Cách chứng minh hai quy tắc này giống cách chứng minh hai quy tắc chia hết cho 3 ở phần (3),

Cụ thể: chứng minh quy tắc chia hết cho 8, còn việc chứng minh quy tắc kia chúng tôi để dành cho các bạn nhỏ tự hoàn thành. Sử dụng ký hiệu trong (3), A có thể chia thành A = = [(10 – 2) a1 + (10² -4)a2 + 10³a3 ...] + (a0 + 2a1 + 4a2). Dễ dàng nhận ra rằng các số trong dấu hoặc vuông là bội số của 8.

*Do vậy;

- muốn phán đoán xem A có phải là bội số của 8 hay không thì chỉ cần xem 3 số tận cùng (a0 + 2a1 + 4a2) có phải là bội số của 8 hay không?

-  muốn phán đoán xem A có phải là bội số của  hay không thì chỉ cần xem 2 số tận cùng (a0 + 2a1) có phải là bội số của 4 hay không?

5/ Chia hết cho 11

Quy tắc đoán một số tự nhiên chia hết cho 11 là hiệu của tổng các số ở vị trí số lẻ và tổng các số ở vị trí số chẵn của nó có thể chia hết cho 11.

Công thức tổng quát _____

A  =  a b c d    chia hết cho 11 khi [(a + c) –  (b + d) ] chia hết 11

Ví dụ tổng các số ở vị trí số lẻ là 9 + 8 + 6 = 23, tổng các số ở vị trí số chẵn là 2 + 8 + 2 = 12, hiệu của hai tổng này bằng 11, có thể chia hết cho 11 cho nên số 268829 có thể chia hết cho 11.

Ví dụ khác: 1257643, vì (3 + 6 + 5 + 1) – (2 + 7 + 4) = 2 cho nên số 1257643 không thể chia hết cho 11.

Cách chứng minh vẫn giống với quy tắc trong 3 và 4: dùng ký hiệu trong (3).

A = = [(10 + 1) a1 + (102 -1)a2 + (103 + 1)a3 + (104 – 1)a4 +..] + (a0 + a2 +..) - (a1 + a3 +...)

Số trong hoặc đơn phía trước là bội số của 11, do vậy muốn phán đoán xem a có phải là bội số của 11 không thì chỉ cần xem số trong hoặc đơn phía sau có phải là bội số của 11 hay không.

6/ chia hết cho 7

Xác định một số tự nhiên chia hết cho 7 hay không là một việc tương đối phức tạp, tính thực tế cũng tương đối ít, nhưng đây là bài chung nên vẫn xin giới thiệu để các bạn nhỏ tham khảo,

- Trước tiên phải nhớ một “thứ tự các hệ số”: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, …(hãy chú ý tính chu kỳ), muốn phán đoán một số tự nhiên có chia hết cho 7 hay không, phải lần lượt lấy các số bắt đầu từ hàng đơn vị của số này nhân với hệ số đối xứng trong dãy thứ tự ở trên để tìm tổng đại số. Ví dụ xem xét số 5125764

Nếu tổng đại số có thể chia hết cho 7 thì số nguyên đó cũng không thể chia hết cho 7. Ví dụ xem xét số 5125764, vì 4 + 3 x 6 + 2 x 7 –1x 5 – 3 x 2 – 2 x 1 + 5 = 28 nên 5125764 có thể chia hết cho 7.

Tóm tắt trong bảng sau

Ký hiệu phán đoán tính chia hết còn có một nguyên tắc rất hiệu quả nữa, nếu một số tự nhiên A có thể đồng thời chia hết cho số tự nhiên p và q, hơn nữa p và q là số nguyên thì A có thể chia hết cho p x q.

Ví dụ 5125764 đồng thời chia hết cho 7 và 4 cho nên nó chia hết cho 28. Lại ví dụ như số có chữ số hàng đơn vị là 0 có thể chia hết cho 10, vì nó đồng thời chia hết cho 2 và 5.

7/ Chia hết cho 6 : đồng thời số đó phải chia hết cho 2 và 3

Nguồn: Thiviplympic.com